若 \(2\) 能整除 \(a\) 的最末位，则 \(2\mid a\)
证明：
令 \(a=10\times k_1+k_2(k_1\) , \(k_2\in Z\) , \(\left\vert k_2\right\vert<10)\)
\(\because \ 2\mid k_2\) , \(2\mid(10\times k_1)\)
\(\therefore \ 2\mid(10\times k_1+k_2)\)
\(\therefore \ 2\mid a\)
若 \(4\) 能整除 \(a\) 的末两位，则 \(4\mid a\)
证明：
令 \(a=100\times k_1+k_2(k_1\) , \(k_2\in Z\) , \(\left\vert k_2\right\vert<100)\)
\(\because \ 4\mid k_2\) , \(4\mid(100\times k_1)\)
\(\therefore \ 4\mid(100\times k_1+k_2)\)
\(\therefore \ 4\mid a\)
若 \(8\) 能整除 \(a\) 的末三位，则 \(8\mid a\)
证明：
令 \(a=1000\times k_1+k_2(k_1\) , \(k_2\in Z\) , \(\left\vert k_2\right\vert<1000)\)
\(\because \ 8\mid k_2\) , \(8\mid(1000\times k_1)\)
\(\therefore \ 8\mid(1000\times k_1+k_2)\)
\(\therefore \ 8\mid a\)
若 \(3\) 能整除 \(a\) 的各位数字之和，则 \(3\mid a\)
证明：
\(\begin{aligned}令 \ a&=1\times k_0+10\times k_1+100\times k_2+... \\ &=(0+1)\times k_0+(9+1)\times k_1+(99+1)\times k_2+... \\ &=(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0+k_1+k_2+...)\end{aligned}\)
\(\because \ 3\mid(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)\) , \(3\mid(k_0+k_1+k_2+...)\)
\(\therefore \ 3\mid(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0+k_1+k_2+...)\)
\(\therefore \ 3\mid a\)
若 \(9\) 能整除 \(a\) 的各位数字之和，则 \(9\mid a\)
证明：
\(\begin{aligned}令 \ a&=1\times k_0+10\times k_1+100\times k_2+... \\ &=(0+1)\times k_0+(9+1)\times k_1+(99+1)\times k_2+... \\ &=(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0+k_1+k_2+...)\end{aligned}\)
\(\because \ 9\mid(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)\) , \(9\mid(k_0+k_1+k_2+...)\)
\(\therefore \ 9\mid(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0+k_1+k_2+...)\)
\(\therefore \ 9\mid a\)
若 \(11\) 能整除 \(a\) 的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差，则 \(11\mid a\)
证明：
\(\begin{aligned}令 \ a&=1\times k_0+10\times k_1+100\times k_2+... \\ &=(0+1)\times k_0+(11-1)\times k_1+(99+1)\times k_2+... \\ &=(0\times k_0+11\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0-k_1+k_2-...)\end{aligned}\)
\(\because \ 11\mid(0\times k_0+11\times k_1+99\times k_2+...)\) , \(311\mid(k_0-k_1+k_2-...)\)
\(\therefore \ 11\mid(0\times k_0+11\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0-k_1+k_2-...)\)
\(\therefore \ 11\mid a\)
能被 \(7\) 、 \(11\) 、 \(13\)整除的数的特征是：这个数的末三位与末三位以前的数字所组成数之差能被 \(7\) 、 \(11\) 、 \(13\) 整除.
证明：
令 \(a=\overline{k_1k_2k_3...k_n}\)
\(\because \ 1001\mid(\overline{k_{n-2}k_{n-1}k_n}\times 1001)\)
\(\therefore \ 1001\mid\overline{k_{n-2}k_{n-1}k_nk_{n-2}k_{n-1}k_n}\)
\(\because \ 1001\mid a\) , \(1001\mid\overline{k_{n-2}k_{n-1}k_nk_{n-2}k_{n-1}k_n}\)
\(\therefore \ 1001\mid (a-\overline{k_{n-2}k_{n-1}k_nk_{n-2}k_{n-1}k_n})\)
\(\therefore \ 1001\mid(\overline{k_1k_2k_3...k_{n-3}}-\overline{k_{n-2}k_{n-1}k_n})\)